Pour la magnétostatique, on définit ses propriétés fondamentales.
\(\triangleright\) Définition d'un champ magnétostatique
Un champ est magnétostatique s'il remplit les conditions suivantes:
- $$\vec{rot}(\vec B)=\mu_0\vec j$$
- $$div(\vec B)=0$$
Induction magnétique
\(\triangleright\) Symétrie pour un champ magnétique
- \(\vec B\) est perpendiculaire au plan de symétrie
- \(\vec B\) est parallèle au Plan d’antisymétrie
\(\triangleright\) Expression d'un champ magnétique créé par une charge en mouvement
Un champ magnétique créé par une charge en mouvement est définit par:
$$\vec B(M)={{\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v\wedge\vec r}{r^3} }}$$
Avec:
- \(\vec r\): la distance entrela charge et le point \(M\)
- \(\mu_0\): la perméabilité du vide
- \(\vec v\): la vitesse de la charge
\(\triangleright\) Expression d'un champ magnétique créé par un élément de courant
L'expression d'un champ magnétique créé par un élément de courant:
$$\vec B(M)= {{\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{V_T} \frac{\vec jd\tau\wedge\vec r}{r^3} }}$$
Dans le cas particulier d'un circuit filiforme (Loi de Biot et Savart):
$$\vec B(M)= {{\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I\vec {dl}\wedge\vec r}{r^3} }}$$
\(\triangleright\) Champ magnétique , un champ conservatif
Le champ magnétique est un champ à flux conservatif:
\( \)
$${\subset\!\supset} \llap{\iint}\vec B.\vec{dS}=0$$
Cela implique que, d'aprés le Théorème d'Ostrogradsky - De la divergence:
$$div (\vec B)=0$$
Conséquence:
\(\vec B\) dérive d'un potentiel vecteur:
$$\vec B={{\vec{rot}(\vec A)}}$$
\(\triangleright\) Conséquence de la Jauge de Coulomb
Soit \(\vec A\) un potentiel vecteur.
$$\vec \Delta \vec A={{-\mu_0\vec j}}$$
(Analogie avec l'Equation de Poisson)
Avec comme solution:
$$\vec A={{\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_\tau\frac{\vec j}{r}d\tau}}$$
\(\triangleright\) Energie potentielle magnétique d'une distribution de courants
$$W_m={{\frac 12\iiint_{Sfermé}\vec j.\vec Ad\tau}}$$
$$W_m=\frac 12\iiint_{espace}\frac{\vec B^2}{\mu_0}d\tau$$
\(\implies\) Densité volumique d'énergie magnétique: \(u_m=\frac{d W_m}{d\tau}\)